Question

13．如圖，在長方形ABCD中，E是CD中點，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點F，連結(jié)BD，DF，下列結(jié)論：①△ADE≌△CEF；②∠AFD+∠BDC=∠BAF；③3DG=DF；④BD⊥DF，其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠DAE=∠CFE，證得△ADE≌△CEF；故①正確；由全等三角形的性質(zhì)得到AD=CF，于是得到BC=CF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BD=DF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC=∠FDC，由三角形的外角的性質(zhì)得到②正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{AB}=\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，求得DG=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{3}$DF；得到DF=3DG，故③正確；由BC≠CD，得到∠BDC≠45°，即可得到∠BDF≠90°，故④錯誤．

解答 解：在長方形ABCD中，
∵AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∵E是CD中點，
∴DE=CE，
在△ADE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CEF；故①正確；
∴AD=CF，
∴BC=CF，
∵DC⊥BF，
∴BD=DF，
∴∠BDC=∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠CEF=∠CDF+∠AFD，
∴∠AFD+∠BDC=∠BAF；故②正確；
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△DEG，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{1}{3}$DF；
∴DF=3DG，故③正確；
∵BC≠CD，
∴∠BDC≠45°，
∴∠BDF≠90°，故④錯誤．
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．