Question

6．形如x+$\frac{1}{x}$=a$+\frac{1}{a}$的方程的解為：x₁=a，x₂=$\frac{1}{a}$．解方程：$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$$+\frac{2{x}^{2}+x+2}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{19}{6}$．

Answer 1

分析 把原方程變形為$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，設(shè)y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$于是得到原方程變?yōu)閥+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，求得y₁=$\frac{2}{3}$，y₂=$\frac{3}{2}$，當(dāng)$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，當(dāng)$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，即可求得結(jié)果．

解答 解：原方程變形為：$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，
設(shè)y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$，則原方程變?yōu)閥+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，解得：y₁=$\frac{2}{3}$，y₂=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，x=1，
經(jīng)檢驗(yàn)x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$和x=1都是原方程的根，
故原方程的根是x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$和x=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．