Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P 的坐標；
（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式可墳得a、b的值，可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線的對稱性可求得C點坐標，再求△ABC的面積即可；
（3）因為點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，設出點P的坐標（m，-m²+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計算求出m的值，寫出點P的坐標；
（4）分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理ON的長即可．

解答 解：
（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$：，
∴拋物線表達式為y=-x²+4x；
（2）∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線對稱軸為x=2，
∵點C和點B關于對稱軸對稱，點B的坐標為（1，3），
∴C（3，3），
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）如圖1，過P點作PD⊥BH交BH于點D，

設點P（m，-m²+4m），
根據題意，得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四邊形HAPD}-S_△BPD，
∴6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m），
∴3m²-15m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴點P坐標為（5，-5）；
（4）以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：
①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴N（2，0）；
②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，

作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，
∵OH=1，
∴ON=NH-OH=5-1=4，
∴N（-4，0）；
③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴ME=NH=DN=3，
∴ON=3-1=2，
∴N（-2，0）；
④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖5，

同理得ME=DN=NH=3，
∴ON=1+3=4，
∴N（4，0）；
⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；
綜上可知當△CMN為等腰直角三角形時N點坐標為（2，0）或（-4，0）或（-2，0）或（4，0）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，主要涉及待定系數法、三角形的面積、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中注意利用拋物線的對稱性，在（3）中用P點坐標表示出△ABP的面積是解題的關鍵，在（4）中分三種情況分別求得ON的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．