Question

2．在平面直角坐標中，A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
（1）如圖①，BD∥AC，且AD=AC，求點D的坐標；
（2）如圖②，將線段OC繞O點旋轉至OE，當點E在第四象限時，請探究：線段AE，BE，CE之間的數量關系；
（3）如圖③，將線OC繞O點旋轉至OE，當E在第一象限時，..直接寫出線段AE，BE，CE之間的數量關系為AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）設出點D的坐標，用兩點間的距離公式得出AD，AC，最后用AD=AC建立方程求解即可；
（2）先判斷出△ABC是等腰直角三角形，再判斷出∠AEC=90°=∠ABC，進而得出點A，B，C，E四點共圓，即可得出∠BCF=∠BAE，即可判斷出△ABE≌△CBF，得出AE=CF，再用勾股定理得出EF=$\sqrt{2}$BE，最后代換即可得出結論；
（3）同（2）的方法即可得出結論．

解答 解：（1）∵A（-2，0），C（2，0）．
∴AC=4，
∵BD∥AC，B（0，2），
∴設D（m，2），
∵A（-2，0），
∴AD=$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$，
∵AD=AC，
∴$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，
∴m=-2±2$\sqrt{3}$，
∴D（-2-2$\sqrt{3}$，2）或D（-2+2$\sqrt{3}$，2）；
（2）AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
理由：如圖1，連接BC，過點B作BF⊥BE交EC延長線于F，
∵A（-2，0），B（0，2），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，
∵OB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵線段OC繞O點旋轉至OE，
∴OE=OA=OC
∴△ACE是直角三角形，
∴∠AEC=90°=∠ABC，
∴點A，B，C，E四點共圓，
∴∠BCF=∠BAE，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=CE+CF=CE+AE，
∴AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
（3）AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
理由：如圖2，連接BC，過點B作BF⊥BE交AE于F，
同（2）的方法，得△BCE≌△BAF，
∴CE=AF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=AE-AF=AE-CE，
∴AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
故答案為：AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了平面坐標系內，兩點間的距離公式，等腰直角三角形的判定和性質，四點共圓，全等三角形的判斷和性質，勾股定理；解（1）的關鍵是用AD=AC，建立方程$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，解（2）（3）關鍵是△ABE≌△CBF，是一道中等難度的中考常考題．