Question

8．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，AC是直徑，分別延長AB、CD相交于點E，AC=AE，過點D作DF∥BC于點F．
（1）求證：AC•DF=AD•DE；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若M是$\widehat{AB}$的中點，連接MD交弦AB于點H，若AB：AE=3：5，證明：AH=AF．

Answer 1

分析 （1）利用直徑所對的圓周角是直角，和平行線的性質得出∠EFD=∠ADC，進而判斷出△ACD∽△DEF即可得出結論；
（2）先判斷出點D是CE的中點，進而得出OD是△ACE的中位線，進而判斷出∠ODE=∠EFD=90°，即可得出結論；
（3）先判斷出△BCE∽△FDE得出BF=EF=4m，得出AF=AE-EF=m，再用勾股定理BC=4m，在判斷出，△MOD是等腰直角三角形，再用等腰直角三角形的性質即可得出NH=MN=$\frac{1}{2}$m，結論得證．

解答 解：（1）∵AC是直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵DF∥BC，
∴∠EFD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵AC=AE，
∴∠ACD=∠E，
∴△ACD∽△DEF，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{AD}{DF}$，
∴AC•DF=AD•DE；
（2）如圖1，連接OD，
∵∠ADC=90°，AC=AE，
∴點D是CE的中點，
∴OD是△ACE的中位線，
∴OD∥AE，
∵∠EFD=90°，
∴∠ODE=∠EFD=90°，
∴DF是⊙O的切線；

（3）如圖2，連接OD，OM，交弦AB于N，
∴ON為△ABC的中位線，
∵AB：AE=3：5，
設AB=3m，AE=5m，
∴BE=AB+AE=BE=8m，
由（2）知，D為CE中點，
∴CE=2DE，
∵DF∥BC，
∴△BCE∽△FDE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=EF=4m，
∴AF=AE-EF=m，
∴AE=AC=5m，OA=OM=$\frac{5}{2}$m，
根據勾股定理得，BC=4m，
∵M是$\widehat{AB}$的中點，
∴ON是△ABC的中位線，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=2m，
∴MN=$\frac{1}{2}$m，
由（2）知，BE∥OD，
∴∠BAC=∠AOD，
∵∠BCA=∠MOA，
∴∠MOD=∠MOA+∠AOD=∠BCA+∠BAC=90°，
∴△MOD是等腰直角三角形，
∵△MNH∽△MOD，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN=$\frac{1}{2}$m，
∴AH=AN-NH=m，
∴AH=AF．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，切線的判定，三角形的中位線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，解（1）的關鍵是得出，∠EFD=∠ADC，解（2）的關鍵是得出OD是△ACE的中位線，解（3）的關鍵是得出BC=4m．