Question

20．某公司經過市場調查發現，該公司生產的某商品在第x天的售價（1≤x≤100）為（x+30）元/件，而該商品每天的銷量滿足關系式y=200-2x．如果該商品第15天的售價按8折出售，仍然可以獲得20%的利潤
（1）求該公司生產每件商品的成本為多少元
（2）問銷售該商品第幾天時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計a元，若考慮這一因素后公司對最大利潤要控制在4000元至4500元之間（包含4000和4500），且保證至少有90天贏利，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設該公司生產每件商品的成本為a元，根據：實際售價-成本=利潤，列出方程，解方程可得；
（2）根據：每天利潤=單件利潤×每天銷售量列出函數關系式，配方成頂點式可得函數的最值情況；
（3）根據（2）中每天利潤減去每天開支a元列出函數關系式P=-2（x-50）²+5000-a，根據最大利潤要控制在4000元至4500元之間可得關于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有90天的盈利可知-2x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，根據韋達定理可得關于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．

解答 解：（1）設該公司生產每件商品的成本為m元，則
（1+20%）•m=0.8×（15+30）
解得，m=30，
即該公司生產每件商品的成本為30元；

（2）設銷售該商品第x天時，當天的利潤為w元，則
w=（200-2x）（x+30-30）=-2（x-50）²+5000，
∴當x=50時，w取得最大值，此時w=5000，
即銷售該商品第50天時，每天的利潤最大，最大利潤5000元；

（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計a元后利潤為P，
則P=-2（x-50）²+5000-a，
根據題意：4000≤5000-a≤4500，
解得：500≤a≤1000，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，
∴（x₁-x₂）²≥90²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥90²，
∵x₁+x₂=100，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，
∴100²-4×$\frac{a}{2}$≥90²，
解得：a≤950，
綜上，500≤a≤950．

點評 本題主要考查二次函數的實際應用能力，明確不等關系并據此列出方程或函數關系式是解題基礎，根據題意挖掘出不等關系求a的范圍是關鍵．