Question

7．在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標為O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三個觀測點確定的圓形區域是“利劍-2016”中國多軍種軍事演習區，如圖所示．
（1）求圓形區域的面積．
（2）某時刻海面上出現一艘可疑船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°方向上，同時在觀測點B測得A位于北偏東30°方向上，求觀測點B到可疑船A的距離（結果保留根號）；
（3）當可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時，是否會進入演習區？請通過計算解釋．

Answer 1

分析 （1）根據O，B，C的坐標，即可證明△OBC是直角三角形，則OC是直徑，據此即可求解；
（2）在△OAB中，利用正弦定理即可求得AB的長；
（3）利用三角函數即可求得A點的縱坐標的值，與圓的半徑比較大小即可判斷．

解答 解：（1）由O（0，0），B（12，0），C（12，16）三點的坐標可知：OB⊥BC，即△OBC為直角三角形，
所以其外接圓的直徑 2R=OC=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
即R=10，
故所求圓形區域的面積S=πR²=100π；

（2）由圖可知，在△OAB中，∠AOB=90°-45°=45°，∠OBA=90°+30°=120°，OB=12，
則∠OAB=180°-45°-120°=15°，
根據正弦定理有$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{OB}{sin∠OAB}$，
即$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{12}{sin15°}$，
解得AB=12（$\sqrt{3}$+1）；

（3）設A點的縱坐標為y，則
y=ABsin（180°-120°）=12（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6（3+$\sqrt{3}$）＞2R，
因此當可疑船由（2）中的位置向正西方向航行時，不會進入演習區．

點評 本題主要考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確運用正弦定理求得AB的長，是解題的關鍵．