Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連結AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？
（2）若∠BAC=70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度數．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據圓周角定理可以證得AD垂直且平分BC，然后根據垂直平分線的性質證得AB=AC；
（2）連接OD、OF，利用等腰三角形的性質：等邊對等角求得圓心角∠BOD、∠DOF、∠AOF的度數，根據弧的度數等于所對圓心角的度數即可求解．

解答 解：（1）AB=AC．
理由是：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）連接OD、OF．
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=55°，
∴∠BOD=180°-∠B-∠ODB=180°-55°-55°=70°，
∴$\widehat{BD}$的度數是70°；
同理，∠AOF=40°，
則∠DOF=180°-∠AOF-∠BOD=180°-40°-70°=70°．
則$\widehat{DF}$的度數是70°，$\widehat{AF}$的度數是40°．

點評 本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質定理，理解弧的度數和對應 圓心角的度數的關系是關鍵．