Question

4．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x+b分別交y軸、x軸于點A、B，已知點A（0，4），直線y=mx+n過點A交x軸正半軸于點C，點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿射線AB方向運動，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）求點B的坐標；
（2）在點P運動過程中，是否存在t的值，使得△APO為等腰三角形？若存在，請求出t的值；不存在試說明理由；
（3）當直線AC繞點A轉(zhuǎn)動時，若∠ABC=2∠ACB，請直接寫出這時m，n的值．答m=-$\frac{1}{2}$，n=4．

Answer 1

分析 （1）點A在直線上，確定出直線解析式，即可確定出點B坐標；
（2）分AP=OP，AP=OA，OP=OA三種情況列出方程確定出點P的坐標，進而得出AP即可求出時間；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造出圖形，得出OC'利用等腰三角形的三線合一確定出點C的坐標，最后代入解析式中，即可得出m，n．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+b分別交y軸、x軸于點A、B，已知點A（0，4），
∴b=4，
∴直線AB解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴B（-3，0），
（2）由（1）知，直線AB解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，A（0，4），B（-3，0），
設(shè)P（m，$\frac{4}{3}$m+4）（m＜0），
∴AP²=m²+$\frac{16}{9}$m²=$\frac{25}{9}$m²，OP²=m²+（$\frac{4}{3}$m+4）²=$\frac{25}{9}$m²+$\frac{32}{3}$m+16，OA²=25，
∵△APO為等腰三角形，
∴①當AP=AO時，
∴AP²=AO²，
∴$\frac{25}{9}$m²=25，
∴m=5（舍）或m=-5，
∴AP=5，
∴t=AP÷2=$\frac{5}{2}$，
②當AP=OP時，
∴AP²=OP²，
∴$\frac{25}{9}$m²=$\frac{25}{9}$m²+$\frac{32}{3}$m+16，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴AP=$\frac{5}{3}$|m|=$\frac{5}{2}$，
∴t=AP÷2=$\frac{5}{4}$，
③OA=OP時，
∴OA²=OP²，
∴$\frac{25}{9}$m²+$\frac{32}{3}$m+16=25，
∴m=$\frac{-48+3\sqrt{31}}{25}$或m=$\frac{-48-3\sqrt{31}}{25}$，
∴AP=$\frac{5}{3}$|m|=$\frac{16-\sqrt{31}}{5}$或AP=$\frac{16+\sqrt{31}}{5}$，
∴t=AP÷2=$\frac{16-\sqrt{31}}{10}$或t=$\frac{16+\sqrt{31}}{10}$；
即：滿足條件的t的值為$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{16-\sqrt{31}}{10}$或$\frac{16+\sqrt{31}}{10}$；

（3）如圖，由（2）知，AB=5，在OB的延長線上取一點C，使BC=AB=5，
∵OB=3，
∴OC=8，
∴BC=AB，
∴∠ABO=2∠AC'O，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠AC'O=∠ACB，
∵OA⊥CC'，
∴OC=OC'=8，
∴C（8，0），
∵A（0，4），
∴將A，C坐標代入y=mx+n得，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{8m+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$，4．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是列出方程，用方程的思想是解此類題目常用的方法．