Question

16．如圖，⊙O為ABC的外接圓，AD為⊙O的切線，AD∥BC，BD交⊙O于E，且點(diǎn)E是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AD=40，BC=48，求⊙O的半徑長及AE的長．

Answer 1

分析 （1）想辦法證明∠DAE=∠ABD，∠CAE=∠ABD即可．
（2）如圖，連接OA、OE，延長AO交BC于M．首先利用勾股定理求出AM，設(shè)半徑為r，在Rt△COM中，利用勾股定理列出方程求出r，在Rt△AON中求出ON，在Rt△ANE中，即可求出AE．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD為⊙O的切線，
∴∠ABE=∠DAE，
∵∠EAC=∠CBE，
∴∠DAE=∠CAE，
∴AE平分∠DAC；

（2）如圖，連接OA、OE，延長AO交BC于M．

∵AD是切線，
∴OA⊥AD，
∵AD∥BC，
∴AM⊥BC，∵AB=AC，
∴BM=CM=24，∵AB=40，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}-2{4}^{2}}$=32，設(shè)半徑為r，
在Rt△COM中，∵OC²=OM²+CM²，
∴x²=（32-x）²+24²，
∴x=25，
∴OA=25，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴EO⊥AC，
在Rt△AON中，∵OA=25，AN=20，
∴ON=$\sqrt{O{A}^{2}-A{N}^{2}}$=15，EN=OE-ON=10，
在Rt△ANE中，
AE=$\sqrt{A{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．