Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+12與兩坐標軸分別交于A，B兩點，OM⊥AB，垂足為點M．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求OM的長；
（3）存在直線AB上的點N，使得S_△OAN=$\frac{1}{2}$S_△OAB，請求出所有符合條件的點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用坐標軸上點的特點直接得出點A，B坐標；
（2）利用三角形的面積的計算即可求出OM；
（3）設出點N的坐標，利用三角形的面積列方程求解即可．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=12，
∴B（0，12），
令y=0，
∴-$\frac{3}{4}$x+12=0，
∴x=16，
∴A（16，0），
（2）由（1）知，A（16，0）．B（0，12），
∴OA=16，OB=12，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA×OB=96，AB=20，
∵OM⊥AB，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB×OM=$\frac{1}{2}$×20×OM=96，
∴OM=9.6；
（3）由（2）知，S_△OAB=96，OA=16，
∵直線AB上的點N，
∴設N（m，-$\frac{3}{4}$m+12），
∵S_△OAN=$\frac{1}{2}$S_△OAB，
∴S_△OAN=$\frac{1}{2}$OA×|y_N|=$\frac{1}{2}$×16×|y_N|=8×|y_N|=$\frac{1}{2}$×96=48，
∴8×|-$\frac{3}{4}$m+12|=48，
∴m=8或m=24，
∴N（8，6）或（24，-6）．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，三角形的面積公式，絕對值方程的求解，列出方程是解本題的關(guān)鍵，是一道比較簡單的基礎題目．