Question

17．如圖，在△ABC中，已知∠CAB=60°，AB∥CD．
（1）請用尺規作圖，在圖中直接作出∠CAB的平分線交CB于點E，交CD于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，求出∠AFC的度數；
（3）在（1）的條件下，若AF⊥CB，試確定AB和CF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的尺規作圖方法，進行畫圖即可得到AF；
（2）根據角平分線的定義以及平行線的性質，得出∠AFC=∠BAF=30°；
（3）根據等角對等邊，得出AB=AC，CF=AC，即可得到AB=CF．

解答 解：（1）如圖所示，AF即為所求；

（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠BAF=30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFC=∠BAF=30°；
（3）AB=CF．
理由：∵AF⊥CB，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠ACE，
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠BAE=∠AFC，
∴CF=AC，
∴AB=CF．

點評 本題主要考查了角平分線的作圖以及三角形內角和定理的運用，復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解題時注意：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．