Question

2．如圖，D為Rt△ABC斜邊AB上一點，以CD為直徑的圓分別交△ABC三邊于E、F、G三點，連接FE，FG．
（1）求證：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4$\sqrt{5}$，D為AE的中點，求FG的長．

Answer 1

分析 （1）連接EC，則∠AEC=90°，由同角的余角相等即可得出∠B=∠ECA，再根據圓周角定理即可得出∠ECA=∠EFG，由此即可證出∠EFG=∠B；
（2）由AC、BC的長度利用勾股定理即可求出AB的長度，結合面積法即可得出CE的長度，由正切即可得出AE的長度，再利用勾股定理可求出CD的長度，連接FD、DG，由矩形的判定定理即可證出四邊形FCGD為矩形，利用矩形的性質即可得出FG=CD，此題得解．

解答 （1）證明：連接EC，如圖1所示．
∵CD為直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠BCE+∠B=90°．
∵∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠B=∠ECA．
又∵∠ECA=∠EFG，
∴∠EFG=∠B；
（2）解：在Rt△BCA中，AC=4$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
∵BC•AC=AB•CE，
∴CE=4．
∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2CE=8．
在Rt△DCG中，CE=4，ED=$\frac{1}{2}$AE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+E{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
連接FD、DG，如圖2所示．
∵CD是直徑，
∴∠CFD=∠CGD=90°，
又∵∠FCG=90°，
∴四邊形FCGD為矩形，
∴FG=CD=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理、勾股定理、矩形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）根據同角的余角相等找出∠B=∠ECA；（2）證出四邊形FCGD為矩形．