分析 (1)假設點P在⊙O上,求此時的正三角形的邊長PB=$\sqrt{3}$r,但已知中“P為⊙O內一點”,所以AB=PB<$\sqrt{3}$r;
(2)本題介紹兩種解法:
解法一:如圖2,作輔助線,證明△POQ是等腰三角形即可得出結論.
解法二:如圖3,作輔助線,證明△OQA是等邊三角形,則OQ=QA,根據四點共圓中,圓外角等于內對角得:∠MAB=∠BCQ=∠BPC,根據平角的定義求得:∠QPA=∠QAP,所以QP=QA,由等量代換可以得出結論QP=OQ=r.
解答 證明:(1)如圖1,當P在圓O上時,過O作OG⊥AB于M,交⊙O于G,連接BG,
∴AM=BM,
∴GO是AB的中垂線,
∵△PAB是正三角形,
∴PA=PB=AB,∠PAB=60°,
∴P在GO上,
∴GP是⊙O的直徑,
∴∠GBP=90°,
∵∠PGB=∠PAB=60°,
在Rt△PGB中,GP=2r,
sin60°=$\frac{PB}{GP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{PB}{2r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
PB=$\sqrt{3}$r,
∵P為⊙O內一點,
∴AB=PB<$\sqrt{3}$r;
(2)解法一:如圖2,連接OQ、OA、OB、AC、BC,
在⊙O中,∠PCA=$\frac{1}{2}$∠PBA=30°,
∵△PAB為等邊三角形,
∴∠GPB=∠GPA=$\frac{1}{2}$∠APB=30°,
∵OA=OB,OG⊥AB,
∴∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOB,
在⊙O中,∠QOG=∠QOA+∠AOG,
=2∠QCA+∠AOG,
=60°+$\frac{1}{2}$∠AOB,
∵∠PCA=30°,∠GPB=30°,
∴∠QOG=∠PCA+∠GPB+∠ACB=∠GPB+∠PCB,
∵BP=BC,
∴∠BPC=∠BCP,
∴∠QOG=∠GPB+∠BPC=∠GPC=∠QPO,
∴PQ=OQ=r.
解法二:如圖3,連接AC、OA、AQ、OQ、BC,延長QA交⊙B于M,
得:∠PCA=$\frac{1}{2}$∠PBA=30°,
∠O=2∠PCA=2∠QCA=60°,
∴△OQA是等邊三角形,
∴OQ=QA,
∵Q、A、B、C四點共圓,
∴∠MAB=∠BCQ=∠BPC,
∵∠QPA=180°-60°-∠BPC=120°-∠BPC,
∠QAP=180°-60°-∠MAB=120°-∠BPC,
∴∠QPA=∠QAP,
∴QP=QA,
∴QP=OQ=r.
點評 本題是圓的綜合題,考查了圓周角定理、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定、特殊的三角函數的問題,第一問中確定動點A、B運動時,AB的長度的變化范圍,第二問中確定PQ與中間量半徑的關系是關鍵,從而使問題得以解決.
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