Question

11．已知∠α的頂點在正n邊形的中心點O處，∠α繞著頂點O旋轉，角的兩邊與正n邊 形的兩邊分別交于點M、N，∠α與正n邊形重疊部分面積為S．

（1）當n=4，邊長為2，∠α=90°時，如圖（1），請直接寫出S的值；
（2）當n=5，∠α=72°時，如圖（2），請問在旋轉過程中，S是否發生變化？并說明理由；
（3）當n=6，∠α=120°時，如圖（3），請猜想S是原正六邊形面積的幾分之幾（不必說明理由）．若∠α的平分線與BC邊交于點P，判斷四邊形OMPN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接對角線OA、OB，證明△AOM≌△BON（ASA），則S_△AOM=S_△BON，所以S=S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1；
（2）如圖2，在旋轉過程中，∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變，連接OA、OB，同理證明△OAM≌△OBN，則S=S_△OBN+S_△OBM=S_△OAM+S_△OBM=S_△OAB，故S的大小不變；
（3）如圖3，120°相當于兩個中心角，可以理解為一個中心角連續旋轉兩次，由前兩問的推理得，旋轉一個中心角時重疊部分的面積是原來正n邊形面積的$\frac{1}{n}$，則S是原正六邊形面積的$\frac{1}{3}$；也可以類比（1）（2）證明△OAM≌△OBN，利用割補法求出結論；
四邊形OMPN是菱形，
理由如下：如圖4，作∠α的平分線與BC邊交于點P，作輔助線構建全等三角形，同理證明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等邊三角形，則OM=PM=OP=ON=PN，根據四邊相等的四邊是菱形可得：四邊形OMPN是菱形．

解答 解：（1）如圖1，連接OA、OB，
當n=4時，四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠MON=∠α=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠BON=∠AOM，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAM=∠ABO=45°，
在△AOM和△BON中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠ABO}\\{OA=OB}\\{∠AOM=∠BON}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴S_△AOM=S_△BON，
∴S_△AOM+S_△AON=S_△BON+S_△AON，
即S_{四邊形ANDM}=S_△ABO=S，
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴S=S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1；

（2）如圖2，在旋轉過程中，∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變，
理由如下：連接OA、OB，
則OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，
∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，
∴△OAM≌△OBN，
∴四邊形OMBN的面積：S=S_△OBN+S_△OBM=S_△OAM+S_△OBM=S_△OAB，
故S的大小不變；
（3）猜想：S是原正六邊形面積的$\frac{1}{3}$，理由是：
如圖3，連接OB、OD，
同理得△BOM≌△DON，
∴S=S_△BOM+S_{四邊形OBCN}=S_△DON+S_{四邊形OBCN}=S_{四邊形OBCD}=$\frac{1}{3}$S_{六邊形ABCDEF}；

四邊形OMPN是菱形，
理由如下：
如圖4，作∠α的平分線與BC邊交于點P，
連接OA、OB、OC、OD、PM、PN，
∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，
∴△OAM≌△OBP≌△OCN，
∴OM=OP=ON，
∴△OMP和△OPN都是等邊三角形，
∴OM=PM=OP=ON=PN，
∴四邊形OMPN是菱形．

點評 本題考查了正n邊形的性質、全等三角形的性質和判定、正n邊形的中心角、中心等定義以及旋轉等知識，明確正n邊形的中心角=$\frac{360°}{n}$，熟練掌握全等三角形的性質和判定，難度適中，本題還運用了類比的思想解決數學問題．