Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，一半徑為2的圓的圓心的初始位置在（0，2），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上以每秒$\frac{π}{3}$的速度沿x軸正方向滾動，8秒時P點到x軸的距離為3．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)圓心為O′，作O′A⊥x軸于A，PD⊥x軸于D，O′F⊥PD于F．設(shè)優(yōu)弧AP的圓心角為n．由弧長公式求出n，推出∠PO′A=120°，在Rt△PO′F中，求出PF，即可解決問題．

解答 解：如圖，設(shè)圓心為O′，作O′A⊥x軸于A，PD⊥x軸于D，O′F⊥PD于F．設(shè)優(yōu)弧AP的圓心角為n．

由題意$\frac{8}{3}$π=$\frac{n•π•2}{180}$，
解得n=240°，
∴∠PO′A=120°，
∵∠O′AD=∠FDA=∠O′FD=90°，
∴四邊形O′ADE是矩形，
∴O′A=DF=2，∠FO′A=90°，
∴∠FO′P=30°，
在Rt△O′PF中，PF=$\frac{1}{2}$O′P=1，
∴PD=PF+DF=1+2=3，
∴點P到x軸的距離為3，
故答案為3．

點評 本題考查軌跡、弧長公式、坐標與圖形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考常考題型．