Question

8．如圖，點A在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點B在直線y=-0.5x+5上，
（1）直線y=-0.5x+5與兩坐標軸圍成的三角形的面積是25；
（2）若∠OAB=90°，AB=AO，且點A的縱坐標為-2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，求出直線y=-0.5x+5與坐標軸的交點即可解決問題．
（2）如圖2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先證明△OHA≌△AGB，推出OH=AG，AH=BG=2，設OH=AG=m，推出B（m+2，m-2），把點B（m+2，m-2）代入y=-0.5x+5求出m即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

對于直線y=-0.5x+5，令x=0得y=5，令y=0得x=10，
∴直線與x軸的交點坐標為（10，0），與y軸的交點坐標為（0，5），
∴OF=10，OE=5，
∴直線y=-0.5x+5與兩坐標軸圍成的三角形的面積=$\frac{1}{2}$•OE•OF=$\frac{1}{2}$×10×5=25．
故答案為25．

（2）如圖2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．

∵∠OAB=90°，
∴∠OAH+∠GAB=90°，∠GAB+∠ABG=90°，
∴∠OAH=∠ABG，
在△OHA和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠ABG}\\{∠OHA=∠AGB=90°}\\{OA=AB}\end{array}\right.$，
∴△OHA≌△AGB，
∴OH=AG，AH=BG=2，設OH=AG=m，
∴B（m+2，m-2），
把點B（m+2，m-2）代入y=-0.5x+5得m-2=-0.5（m+2）+5，
解得m=4，
∴點A坐標（4，-2），
∵點A在反比例函數y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-8．

點評 本題考查一次函數的應用、反比例函數、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．