Question

18．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于點D，動點P從點B出發沿BC方向以每秒5個單位的速度向終點C運動，過點P作PE⊥AB于點E，過點P作PF∥BA，交AC于點F，設點P運動的時間為t秒，若以PE所在直線為對稱軸，線段BD經軸對稱變換后的圖形為B′D′，當線段B′D′與線段AC有公共點時，則t的取值范圍是$\frac{5}{6}$≤t≤$\frac{61}{60}$．

Answer 1

分析 如圖1中，當點B′與點A重合時．求出t的值．如圖2中，當點D′在線段AC上時，求出t的值，由此即可求出t的取值范圍．

解答 解：如圖1中，當點B′與點A重合時．

∵AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6，
∴BD=DC=3，
在Rt△ABD中，cos∠B=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∵BE=AE=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{PB}$，
∴PB=$\frac{25}{6}$，
∴此時t=$\frac{25}{6}$÷5=$\frac{5}{6}$，

如圖2中，當點D′在線段AC上時．

∵DD′⊥PE，AB⊥PE，
∴DD′∥AB，
∵BD=CD，
∴AD′=CD′，
∴DD′=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$DD′=$\frac{5}{4}$，
∴∠HDP=∠B，
∴cos∠HDP=$\frac{DH}{DP}$=$\frac{3}{5}$，
∴DP=$\frac{25}{12}$，
∴BP=BD+DP=$\frac{61}{12}$，
∴此時t=$\frac{61}{12}$÷5=$\frac{61}{60}$，
∴當線段B′D′與線段AC有公共點時，則t的取值范圍是$\frac{5}{6}$≤t≤$\frac{61}{60}$，
故答案為$\frac{5}{6}$≤t≤$\frac{61}{60}$．

點評 本題考查幾何變換、等腰三角形的性質、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．