分析 ①由已知條件“∠ABC=45°,CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形,根據等腰直角三角形的性質知:∠DCB=∠ABC=45°、DB=DC;然后由已知條件“BE⊥AC”求證∠ABE=∠ACD;再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,從而得出BF=AC;
②根據等腰三角形的性質得到AE=CE,等量代換即刻得到結論.
解答 證明:①∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CDA=90°;
∵∠ABC=45°,
∴∠DCB=∠ABC=45°(三角形的內角和定理),
∴DB=DC(等角對等邊);
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠A+∠ABE=90°(直角三角形的兩個銳角互為余角);
∵∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD(同角的余角相等);
在△BDF和△CDA中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CDA}\\{DB=DC}\\{∠ABE=∠ACD}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC;
②∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,
∴AB=BC,
∴AE=CE,
∴AC=2CD,
∵BF=AC,
∴BF=2CE.
點評 本題考查三角形全等的判定與性質.判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.在復雜的圖形中有45°的角,有垂直,往往要用到等腰直角三角形,要注意掌握并應用此點.
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