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19.已知,如圖△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F,求證:①BF=AC;②BF=2CE.

分析 ①由已知條件“∠ABC=45°,CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形,根據等腰直角三角形的性質知:∠DCB=∠ABC=45°、DB=DC;然后由已知條件“BE⊥AC”求證∠ABE=∠ACD;再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,從而得出BF=AC;
②根據等腰三角形的性質得到AE=CE,等量代換即刻得到結論.

解答 證明:①∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CDA=90°;
∵∠ABC=45°,
∴∠DCB=∠ABC=45°(三角形的內角和定理),
∴DB=DC(等角對等邊);
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠A+∠ABE=90°(直角三角形的兩個銳角互為余角);
∵∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD(同角的余角相等);
在△BDF和△CDA中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CDA}\\{DB=DC}\\{∠ABE=∠ACD}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC;
②∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,
∴AB=BC,
∴AE=CE,
∴AC=2CD,
∵BF=AC,
∴BF=2CE.

點評 本題考查三角形全等的判定與性質.判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.在復雜的圖形中有45°的角,有垂直,往往要用到等腰直角三角形,要注意掌握并應用此點.

練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

3.如圖,在數軸上點A,點B,點C表示的數分別為-2,1,6.

(1)線段AB的長度為3個單位長度,線段AC的長度為8個單位長度;
(2)點P是數軸上的一個動點,從A點出發,以每秒1個單位長度的速度,沿數軸的正方向運動,運動時間為t秒(0≤t≤8).用含t的代數式表示:線段BP的長為點P在點B的左邊為3-t,點P在點B的右邊為t-3個單位長度,點P在數軸上表示的數為-2+t;
(3)點M,點N都是數軸上的動點,點M從點A出發以每秒4個單位長度的速度運動,點N從點C出發以每秒3個單位長度的速度運動.設點M,N同時出發,運動時間為x秒.
請從下面A,B兩題中任選一題作答,我選擇A題.
A.設點M,N相向運動,當點M,N兩點間的距離為13個單位長度時,求x的值,并直接寫出此時點M在數軸上表示的數.
B.設點M,N同向運動,當點M,N兩點間的距離為14個單位長度時,求x的值,并直接寫出此時點M在數軸上表示的數.

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10.小明家住房的結構如圖所示,小明的爸爸打算把臥室和客廳鋪上木地板,請你幫小明爸爸算一算,至少需要買多少平方米地板?

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7.如圖,⊙O的半徑為r.A,B為⊙O上的兩個不同點;以B為圓心.BA為半徑的圓交⊙O于另一點C.P為⊙O內一點,使得△PAB為正三角形,CP交⊙O于另一點Q.
(1)求證:AB<$\sqrt{3}$r;
(2)求證:PQ=r.

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14.如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是過點A的直線,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.

(1)若BC在DE的同側(如圖1)且AD=CE,請寫出:BA和AC的位置關系AB⊥AC.(不必證明)
(2)若BC在DE的兩側(如圖2)其他條件不變,請問(1)中AB與AC的位置關系還成立嗎?若成立,寫出證明過程;若不成立,說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

4.如圖,直線EF與MN相交于點O,∠MOE=30°,將一直角三角尺的直角頂點與O重合,直角邊OA與MN重合,OB在∠NOE內部.操作:將三角尺繞點O以每秒3°的速度沿順指針方向旋轉一周,設運動時間為t(s).
(1)當t為何值時,直角邊OB恰好平分∠NOE?此時OA是否平分∠MOE?請說明理由;
(2)若在三角尺轉動的同時,直線EF也繞點O以每秒9°的速度順時針方向旋轉一周,當一方先完成旋轉一周時,另一方同時停止轉動.
①當t為何值時,EF平分∠AOB?
②EF能否平分∠NOB?若能請直接寫出t的值;若不能,請說明理由.

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11.如圖,在△ABE中,AB=AE,C、D是BE邊上兩點且AC=AD,求證:BC=DE.

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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

8.下列數量關系中,成正比例關系的是(  )
A.路程一定,時間和速度B.圓的半徑和它的面積
C.圓錐的底面積一定,體積和高   

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9.已知a>b且a+b=0,則(  )
A.a<0B.a>0C.b≤0D.b>0

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同步練習冊答案
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