Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊的中線，點E、F分別是AB、AC的中點，連接DE、DF．
（1）求證：△AED是等邊三角形；
（2）若AB=2，則四邊形AEDF的周長是4．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C=30°，AD⊥BC，根據直角三角形的性質得到AD=$\frac{1}{2}$AB，于是得到結論；
（2）根據菱形的判定得到四邊形AEDF是菱形，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD是BC邊的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=60°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AD，
∴△ADE是等邊三角形；
（2）解：由（1）證得△ADE是等邊三角形，同理△ADF是等邊三角形，
∴AE=AF=AD=DE=DF，
∴四邊形AEDF是菱形，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴四邊形AEDF的周長是4，
故答案為：4．

點評 本題考查了含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．