Question

2．如圖，在△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作△ABD和△ACE，且AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，連接DC，BE，點G，F(xiàn)分別是DC，BE的中點，連接AF，F(xiàn)G．
（1）求證：DC=BE；
（2）當∠BAD=80°時，連接AG，求∠AFG的度數(shù)；
（3）若∠BAD=α，請你直接寫出∠AFG與α之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠DAC=∠BAE，進而得出△ADC≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得出DC=BE；
（2）連接AG，根據(jù)條件就可以得出△ADG≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性質(zhì)，就可以求出∠AFG的值；
（3）與（2）中的方法類似，根據(jù)條件得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性質(zhì)，就可以表示∠AFG與α的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE；

（2）如圖，連接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，AD=AB．
∵G、F分別是DC與BE的中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=80°，
∴∠GAF=80°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°；

（3）∠AFG與α之間滿足的數(shù)量關(guān)系為：∠AFG=90°-$\frac{1}{2}$α．
由（2）可得，當∠DAB=α時，∠GAF=α．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴α+2∠AFG=180°，
∴∠AFG=90°-$\frac{1}{2}$α．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，解題時需要運用全等三角形的對應邊相等的性質(zhì)，運用SAS證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．