Question

10．如圖，∠AOB=90°．P是∠AOB的平分線OC上一點，以P為頂點作直角．
（1）以P為頂點的直角邊交射線OA和射線OB于M、N
①求證：PM=PN．
②己知OP=4$\sqrt{2}$，則四邊形PMON的面積S=16．
（2）如果以P為頂點的直角邊交射線OA的反向延長線上一點M，交射線OB于N．那么PM=PN是否仍然成立？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

分析 （1））①證明：如圖1中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，只要證明△PEM≌△PFN（ASA），即可推出PM=PN．
②只要證明四邊形EOFP是正方形，由OP=4$\sqrt{2}$，推出OF=PF=PE=OE=4，推出正方形EOFP的面積為16，由S_△PEM=S_△PFN，推出四邊形PMON的面積=正方形EOFP的面積，由此即可解決問題．

解答 （1）①證明：如圖1中，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形EOFP是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠EPM=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN．
②解：由①可知四邊形EOFP是矩形，
∵PE=PF，
∴四邊形EOFP是正方形，
∵OP=4$\sqrt{2}$，
∴OF=PF=PE=OE=4，
∴正方形EOFP的面積為16，
∵S_△PEM=S_△PFN，
∴四邊形PMON的面積=正方形EOFP的面積，
∴四邊形PMON的面積S=16，
故答案為16．

（2）解：如圖2中，結(jié)論仍然成立．

理由：∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形EOFP是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠EPM=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PM=PN．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．