Question

14．閱讀材料：小明發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，
如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均為正整數）則有：a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$，所以a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，用含m、n的式子分別表示a、b，得a=m²+3n²，b=2mn
（2）若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²（其中a、b、m、n均為正整數），求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式把（m+n$\sqrt{3}$）²展開即可得到a、b的值；
（2）利用（1）中結論得到a=m²+3n²，2mn=4，即mn=2，利用有理數的整除性確定m和n的值，然后計算a的值．

解答 解：（1）（m+n$\sqrt{3}$）²=m²+3n²+2mn$\sqrt{3}$，
所以a=m²+3n²，b=2mn；
故答案為m²+3n²，2mn；
（2）由（1）得a=m²+3n²，2mn=4，
而a、b、m、n均為正整數，
所以m=2，n=1或m=1，n=2．
所以當m=2，n=1時，a=2²+3×1²=7．
當m=1，n=2時，a=1²+3×2²=13．

點評 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．也考查了閱讀理解能力．