Question

7．如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，沿著C→A→B的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t=5秒時，求△ABP的周長．
（2）當(dāng)t為幾秒時，PC=PB；
（3）當(dāng)t為幾秒時，BP平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求得AC=16cm，根據(jù)運(yùn)動的速度和時間求得CP=5cm，AP=11cm，最后根據(jù)勾股定理得到BP=13cm，即可得到△ABP的周長為：AP+PB+AB=44cm；
（2）根據(jù)BP=CP，則∠PCB=∠B，進(jìn)而得出PA=PB=10cm，故點(diǎn)P的運(yùn)動路程=AC+AP=26cm，最后根據(jù)t=26÷1=26s，得到當(dāng)t為26秒時，PC=PB；
（3）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，判定Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），得到BD=BC=12cm，AD=20-12=8cm，再設(shè)PC=xcm，則PD=xcm，AP=（16-x）cm，在Rt△APD中，根據(jù)勾股定理得到PD²+AD²=AP²，即x²+8²=（16-x）²，解得x=6，即可得到當(dāng)t=6秒時，BP平分∠ABC．

解答 解：（1）如圖1，∵∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，
∴AC=16cm，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1cm，
∴出發(fā)5秒時，CP=5cm，AP=11cm，
∵∠C=90°，
∴Rt△BCP中，BP=13cm，
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=44cm；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時，PB＞PC；
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時，
若BP=CP，則∠PCB=∠B，
∵∠ACP+∠PCB=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACP=∠A，
∴PA=PC，
∴PA=PB=10cm，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動路程=AC+AP=26cm，
∴t=26÷1=26s，
∴當(dāng)t為26秒時，PC=PB；

（3）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD=PC，
在Rt△BPD和Rt△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=12cm，
∴AD=20-12=8cm，
設(shè)PC=xcm，則PD=xcm，AP=（16-x）cm，
在Rt△APD中，PD²+AD²=AP²，
即x²+8²=（16-x）²，
解得x=6，
∴當(dāng)t=6秒時，BP平分∠ABC．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決第（3）問的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理列出方程進(jìn)行求解．解題時注意方程思想的運(yùn)用．