Question

14．（1）如圖1，OC平分∠AOB，點D是射線OA邊上一點，點P、Q分別在射線OC、OB上運動，已知OD=8，∠AOC=30°，則DP+PQ的最小值是4$\sqrt{3}$；
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AD=AB=4，∠DAB=60°，點E是AB邊上的動點，點F是對角線AC上的動點，求EF+BF的最小值；
（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB=2a，BC=a，點M是AC上一動點，點N是斜邊AB上一動點，請直接寫出MN+CN的最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DQ′⊥OB于Q′交OC于P′，由圖象可知，欲求DP+PQ的最小值，根據垂線段最短，可知當Q與Q′重合時，P與P′重合時，PD+PQ最小，最小值為DQ′．
（2）首先證明四邊形ABCD是菱形，推出B、D關于直線AC對稱，推出FD=FB，所以BF+EF=DF+EF，作DE′⊥AB于E′交AC于F′，根據垂線段最短，可知當點E與E′重合，F與F′重合時，DF+EF最小，最小值為DE′．
（3）如圖3中，設射線AC′與射線AC關于直線AB對稱，作CM″⊥AC′于M″交AB于N′．作M關于直線AB的對稱點M′連接NM′，因為CN+MN=CN+NM′，根據垂線段最短，可知當M′與M″重合時，N與N′重合時，CN+NM最小，最小值為CM″．

解答 解：（1）如圖1中，作DQ′⊥OB于Q′交OC于P′，

由圖象可知，欲求DP+PQ的最小值，根據垂線段最短，可知當Q與Q′重合時，P與P′重合時，PD+PQ最小，最小值為DQ′，
在Rt△ODQ′中，∵∠OQ′D=90°，∠DOQ′=2∠AOC=60°，OD=8，
∴DQ′=OD•sin60°=4$\sqrt{3}$，
故答案為4$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AD=AB=4，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴B、D關于直線AC對稱，
∴FD=FB，
∴BF+EF=DF+EF，作DE′⊥AB于E′交AC于F′，
根據垂線段最短，可知當點E與E′重合，F與F′重合時，DF+EF最小，最小值為DE′，
在Rt△ADE′中，∵∠AE′D=90°，AD=4，∠DAE′=60°，
∴DE′=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$．
∴BF+EF的最小值為2$\sqrt{3}$．

（3）如圖3中，設射線AC′與射線AC關于直線AB對稱，作CM″⊥AC′于M″交AB于N′．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2a，BC=a，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAC′=60°，作M關于直線AB的對稱點M′連接NM′，
∵CN+MN=CN+NM′，
根據垂線段最短，可知當M′與M″重合時，N與N′重合時，CN+NM最小，最小值為CM″，
在Rt△ACM″中，CM″=AC•sin60°=$\frac{3}{2}$a．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質、菱形的性質、銳角三角函數、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用對稱把問題轉化為垂線段最短，屬于中考常考題型．