Question

16．已知正比例函數y=4x與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，點A坐標為（1，m），反比例函數圖象有一點P使得三角形ABP的面積為40，求P點坐標．

Answer 1

分析 根據正比例函數y=4x與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，點A坐標為（1，m），求得m=4×1=4，k=1×4=4，進而得出反比例函數為y=$\frac{4}{x}$，再設點P（m，$\frac{4}{m}$），分兩種情況進行討論：①P在AB右側，②P在AB左側，分別構造矩形，根據割補法列出關于m的方程，求得m的值，即可得到P點坐標．

解答 解：∵正比例函數y=4x與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，點A坐標為（1，m），
∴m=4×1=4，k=1×4=4，
∴反比例函數為y=$\frac{4}{x}$，
設點P（m，$\frac{4}{m}$），
①當P在AB右側時，如圖所示，構造矩形BCDE，

根據△ABP面積=矩形BCDE面積-△ABE面積-△BCP面積-△ADP面積，可得
8（m+1）-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{4}{m}$）×（m-1）=40，
解得m=$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{4}{m}$=-20+12$\sqrt{3}$或-20-12$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$，-20+12$\sqrt{3}$）或（$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，-20-12$\sqrt{3}$）；
②當P在AB左側時，如圖所示，構造矩形BCDE，

根據△ABP面積=矩形BCDE面積-△PBE面積-△BCA面積-△ADP面積，可得
2（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4））-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{m}$-4）×（1-m）=40，
解得m=-5+$\sqrt{26}$或-5-$\sqrt{26}$，
∴$\frac{4}{m}$=20+4$\sqrt{26}$或20-4$\sqrt{26}$，
∴P（-5+$\sqrt{26}$，20+4$\sqrt{26}$）或（-5-$\sqrt{26}$，20-4$\sqrt{26}$）．

點評 本題主要考查了反比例函數與一次函數交點的問題，解決問題的關鍵是作輔助線，構造矩形進行求解．解題時注意：若坐標平面內的三角形的各邊與坐標軸都不垂直時，需要運用割補法求解．