Question

7．設$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$的整數部分是x，小數部分是y（0＜y＜1），則x²+y²的值為37-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先把$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$化為3+2$\sqrt{2}$，估算出3+2$\sqrt{2}$的大小，判斷出x、y的值各是多少；然后把x、y的值代入，求出x²+y²的值為多少即可．

解答 解：$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
=$\frac{{（\sqrt{2}+1）}^{2}}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}$
=3+2$\sqrt{2}$
∵1＜$\sqrt{2}$＜1.5，
∴2＜2$\sqrt{2}$＜3，
∴5＜3+2$\sqrt{2}$＜6，
∴x=5，y=3+2$\sqrt{2}$-5=2$\sqrt{2}$-2，
∴x²+y²
=5²+${（2\sqrt{2}-2）}^{2}$
=25+12-8$\sqrt{2}$
=37-8$\sqrt{2}$
故答案為：37-8$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了估算無理數的大小，要熟練掌握，解答此題的關鍵是估算出$\sqrt{2}$的大�。�