Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AB=6，AC=2，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求四邊形ACBD的面積；
（2）求弦CD的長．

Answer 1

分析 （1）由S_{四邊形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD，即可求得答案；
（2）作CH⊥AB于H，連接OD，CD與AB交于E點，如圖，先根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=∠ADB=90°，易判斷△ABD為等腰直角三角形，則OD⊥AB，再證明Rt△ACH∽Rt△ABC，利用相似比計算出AH=$\frac{2}{3}$，則OH=OA-AH=$\frac{7}{3}$，于是在Rt△ACH中利用勾股定理可計算出CH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，然后證明△CHE∽△DOE，利用相似比可得到HE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE，CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$DE，則利用HE+OE=$\frac{7}{3}$可計算出OE=$\frac{27-12\sqrt{2}}{7}$，接著在Rt△ODE中，根據勾股定理計算出DE=$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$，則CE=$\frac{16\sqrt{2}-8}{7}$，最后計算DE與CE的和即可．

解答 解：（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠DCA=∠BCD；
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD；
∴在Rt△ABD中，AD=BD=3$\sqrt{2}$，AB=6，
∴四邊形ADBC的面積=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AD•BD
=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$
=9+4$\sqrt{2}$．
故四邊形ADBC的面積是9+4 $\sqrt{2}$；

（2）作CH⊥AB于H，連接OD，CD與AB交于E點，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AH：AC，即2：6=AH：2，解得AH=$\frac{2}{3}$，
∴OH=OA-AH=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$．
在Rt△ACH中，CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{\;}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵CH∥OD，
∴△CHE∽△DOE，
∴$\frac{HE}{OE}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CH}{OD}$，即$\frac{HE}{OE}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即HE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE，CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$DE，
而HE+OE=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{4\sqrt{2}}{9}$OE+OE=$\frac{7}{3}$，解得OE=$\frac{27-12\sqrt{2}}{7}$．
在Rt△ODE中，DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$，
∴CE=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$•$\frac{36-9\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16\sqrt{2}-8}{7}$，
∴CD=DE+CE=4+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質．