Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點F，若F點恰好為$\widehat{DE}$的中點，連接EF、DF．
（1）求證：EC是⊙O的切線；
（2）若AE=6，CE=2，⊙O的直徑為10，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OF，如圖，利用圓周角定理得到∠AED=90°，則可判斷DE∥BC，再根據垂徑定理的推論可判斷OF⊥DE，所以OF⊥BC，然后根據切線的判斷定理即可得到結論；
（2）連接DE交OF于H，連接DF，如圖，利用F點恰好為$\widehat{DE}$的中點得到S_弓形EF=S_弓形DF，則圖中陰影部分的面積=S_△DBF，然后利用垂徑定理和勾股定理計算出DH，再利用相似比計算出BF，然后根據三角形面積公式計算即可．

解答 （1）證明：連接OF，如圖，
∵AD為直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴DE∥BC，
∵F點恰好為$\widehat{DE}$的中點，
∴OF⊥DE，
∴OF⊥BC，
∴EC是⊙O的切線；
（2）解：連接DE交OF于H，連接DF，如圖，
∵F點恰好為$\widehat{DE}$的中點，
∴S_弓形EF=S_弓形DF，
∴圖中陰影部分的面積=S_△DBF，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵OH⊥DE，
∴EH=OH=4，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{OF}{AC}$，即$\frac{BF}{BF+4}$=$\frac{5}{6+2}$，解得BF=$\frac{20}{3}$，
∴圖中陰影部分的面積=S_△OBF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$-$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了利用轉化和面積的和差計算不規則圖形的面積．