Question

14．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且A（-1，0），OB=OC=3OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P是第一象限拋物線上的一點，連接AC、PB、PC．且S_{四邊形OBPC}=5S_△AOC，試求點P的坐標？
（3）如圖3，定長為1的線段MN在拋物線的對稱軸上上下滑動，連接CM、AN．記m=CM+MN+AN，試問：m是否有最小值？如果有，請求m的最小值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離，可得PM的長，根據面積的和差，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案；
（3）根據平行的性質，可把MN平移到CO上，根據軸對稱的性質，可得C′點的對稱點C″，根據兩點間線段最短，可得C″A，根據勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）由A（-1，0），OB=OC=3OA，得
OB=OC=3，
即B（3，0），C（0，3），
把A，B，C的坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）作PM⊥x軸交BC于M點，如圖1
，
由B（3，0），C（0，3），得BC的解析式為y=-x+3，
設P點坐標為（n，-n²+2n+3），M（n，-n+3）．
PM的長為-n²+2n+3-（-n+3）=-n²+3n，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•OC=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$，
S_{四邊形OBPC}=S_△OBC+S_△PBC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3（-n²+3n）=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{9}{2}$n+$\frac{9}{2}$；
由S_{四邊形OBPC}=5S_△AOC，得
-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{9}{2}$n+$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$×5．
化簡，得
n²-3n+2=0，
解得n₁=1，n₂=2，
P點坐標為（1，4）（2，3）；
（3）m有最小值，理由如下：
在OC上作CC′=MN=1，如圖2
，
作C′關于對稱軸的對稱點，連接C″A，
CM+AN=AC″取得最小值為C″A．
在Rt△ADC″中，由勾股定理，得
C″A=$\sqrt{A{D}^{2}+C″{D}^{2}}$=$\sqrt{（2+1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
m_最小=CM+MN+AN=C″A+MN=1+$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是將A，B，C的坐標代入求方程組；解（2）的關鍵是利用面積相等得出關于n的方程；解（3）的關鍵是利用平移先得出CC′=1，再利用兩點之間線段最短．