Question

9．二次函數y=ax²+bx+c的圖象是過點A（-1，-$\frac{5}{2}$），B（0，-4），C（4，0）的一條拋物線．
（1）求這個二次函數的關系式；
（2）求這條拋物線的頂點D的坐標和對稱軸方程，并畫出這條拋物線；
（3）x為何值時，函數有最大值或最小值？最大值或最小值等于多少？
（4）x在什么范圍內，y隨著x的增大而增大？
（5）求四邊形OBDC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據點的坐標利用待定系數法即可求出函數關系式；
（2）利用配方法將拋物線關系式由一般式邊形為頂點式，由此即可得出點D的坐標以及對稱軸方程，再根據拋物線的對稱軸找出拋物線經過的幾點坐標，描點連線畫出函數圖象；
（3）由a=$\frac{1}{2}$＞0，結合拋物線的關系式（頂點式）即可解決問題；
（4）由a=$\frac{1}{2}$＞0，結合拋物線圖象即可解決問題；
（5）將四邊形OBDC分割成梯形OBDE和三角形CDE，再根據梯形和三角形的面積公式，代入數據即可得出結論．

解答 解：（1）將點A（-1，-$\frac{5}{2}$）、B（0，-4）、C（4，0）代入y=ax²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-\frac{5}{2}}\\{c=-4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴這個二次函數的關系式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-4=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∴這條拋物線的頂點D的坐標為（1，-$\frac{9}{2}$），對稱軸為x=1．
∵拋物線過點（0，-4）、（4，0），
∴拋物線過點（2，-4）、（-2，0）．
描點、連線畫出函數圖象，如圖所示．
（3）∵a=$\frac{1}{2}$，且y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∴當x=1時，函數有最小值，最小值為-$\frac{9}{2}$．
（4）∵a=$\frac{1}{2}$，且拋物線對稱軸為x=1，
∴當x≥1時，y隨著x的增大而增大．
（5）令拋物線對稱軸與x軸交點為E，則點E的坐標為（1，0），
∵O（0，0），B（0，-4），D（1，-$\frac{9}{2}$），C（4，0），
∴OB=4，OE=1，DE=$\frac{9}{2}$，CE=3．
∴S_{四邊形OBCD}=S_梯形OBDE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OE+$\frac{1}{2}$DE•CE=$\frac{1}{2}$×（4+$\frac{9}{2}$）×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3=11．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象、二次函數的性質、二次函數最值、梯形以及三角形面積，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用待定系數法求出二次函數關系式；（2）將拋物線關系式由一般式改寫成頂點式；（3）根據二次函數的性質解決最值問題；（4）結合函數圖象解決單調性問題；（5）利用分割圖形法求出四邊形面積．