Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當△AEF的周長最小時，則cos∠EAF=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 作點E關于直線CD的對稱點E′，連接AE′交CD于點F，作EH⊥AF于H．，再根據△CEF∽△BEA即可求出CF的長，進而得出DF的長，想辦法求出AE、AH，即可求出cos∠EAF的值．

解答 解：作點E關于直線CD的對稱點E′，連接AE′交CD于點F，作EH⊥AF于H．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC中點，
∴BE=CE=CE′=4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴$\frac{CE'}{BE'}=\frac{CF}{AB}$，即$\frac{4}{8+4}=\frac{CF}{6}$，解得CF=2，
∴DF=CD-CF=6-2=4．
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AF=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AF•EH=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△EFC，
∴$\frac{1}{2}$$•4\sqrt{5}$•EH=16，
∴EH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{13}）^{2}-（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠EAF=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{\frac{14\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．
故答案為$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．