Question

14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC與BD相交于點E，∠ADB=60°，且BD：ED=3：1，BD=12，求梯形ABCD的周長．

Answer 1

分析 根據已知條件得到DE=4，BE=8，根據等腰梯形的性質得到AC=BD，根據全等三角形的性質得到∠DAC=∠ADB=60°，得到AD=AE=DE=4，同理BC=BE=8，過A作AH⊥BD于H，解直角三角形得到DH=$\frac{1}{2}$AE=2，AH=2$\sqrt{3}$，AB=CD=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，于是得到結論．

解答 解：∵BD：ED=3：1，BD=12，
∴DE=4，BE=8，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
在△ABD與△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AD=AD}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△DAC，
∴∠DAC=∠ADB=60°，
∴AD=AE=DE=4，
同理BC=BE=8，
過A作AH⊥BD于H，
∴DH=$\frac{1}{2}$AE=2，AH=2$\sqrt{3}$，
∴BH=10，
∴AB=CD=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∴梯形ABCD的周長=2×4$\sqrt{7}$+4+8=14+4$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，勾股定理，等腰梯形的性質，解直角三角形，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．