Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（-1，0），B（0，2），點C在第一象限，且滿足∠ABC=135°，AC交y軸于點D，CD=3AD．
（1）求tan∠ABO的值；
（2）求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABO中，根據三角函數的定義即刻得到結論；
（2）過O作OH⊥AB于H，得到AH=BH=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，根據已知條件得到B，H，A，O四點共圓，連接OH，推出H在第二象限角平分線上，作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，根據全等三角形的性質得到AM=BN=$\frac{1}{2}$，求得直線HB的解析式，于是得到結論．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，AO=1，BO=2，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
過O作OH⊥AB于H，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBA=HAB=45°，
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四點共圓，
連接OH，
∴∠BOH=∠BAH=45°，
∴H在第二象限角平分線上，
作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，
則四邊形HMON是正方形，
∴HN=HN，
在Rt△AHM與Rt△BHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{HM=HN}\\{AH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN，
∴AM=BN，
∵OM=ON，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$，
∴H（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴直線BH的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+2，
過C作CI⊥x軸于I，
∴OD∥CI，
∴$\frac{OA}{OI}=\frac{AD}{CD}$，
∴OI=3AO=3，
把x=3代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=3，
∴C點坐標為（3，3）．

點評 本題考查了解直角三角形，正方形的判定和性質，求函數的解析式，全等三角形的判斷和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．