Question

6．已知平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于A（2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，∠AMB=90°．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)C（0，3）作x軸的平行線，交拋物線于E、F，交其對(duì)稱軸于D
①求證：OD∥AF；
②在OE的右側(cè)作OP=OE，在AF的左側(cè)作AQ=OF，且∠EOP=∠FAQ，求證：DP=DQ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息可以得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線與x軸交于A（2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，從而可以求得拋物線的解析式；
（2）①要證明OD∥AF，只要證明四邊形OAFD是平行四邊形即可，根據(jù)題意可以求得點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而可以求得DF的長，從而可以證明結(jié)論成立；
②要證明DP=DQ，只要證明△POD≌△DAQ即可，根據(jù)題目中的條件可以找到證明兩個(gè)三角形全等的條件，本題得以解決．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于A（2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M，∠AMB=90°，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，AB=4-2=2，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是-1，
∴點(diǎn)M（3，-1），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²-1，
∴0=a（2-3）²-1，得a=1，
∴y=（x-3）²-1=x²-6x+8，
即該拋物線的解析式是y=x²-6x+8；
（2）①證明：∵點(diǎn)C（0，3），
將y=3代入y=x²-6x+8，得x₁=1，x₂=5，
∴點(diǎn)E（1，3），點(diǎn)F（5，3），
∴DF=5-3=2，
∵OA=2，
∴OA=DF，
∵OA∥DF，
∴四邊形OAFD是平行四邊形，
∴OD∥AF；
②證明：連接OD，如右圖所示，
同理可得，DE=3-1=2，
∴DE∥OA，DE=OA，
∴四邊形OADE是平行四邊形，
∴OE=AD，
又∵OE=OP，OD=AF，AF=AQ，
∴OP=AD，OD=AQ，
∵OE∥AD，OD∥AF，
∴∠EOB=∠DAB，∠DOB=∠FAB，
又∵∠EOP=∠FAQ，
∴∠POD=∠DAQ，
在△POD和△DAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=AD}\\{∠POD=∠DAQ}\\{OD=AQ}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△DAQ（SAS），
∴DP=QD，
即DP=DQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、全等三角形的證明、等腰直角三角形的性質(zhì)，解答此類題目的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)的性質(zhì)和全等三角形的證明的相關(guān)知識(shí)解答．