Question

19．已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．
（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若（1）中拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N（點F在點N的左側）兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱和角平分線的性質以及勾股定理可以求出OC的長度，從而求出點C的坐標．再根據直線的解析式求出A、B的坐標，最后利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）的解析式可以轉化為頂點式而求出頂點坐標D，利用B、C的坐標求出BC的解析式，假設在直線BC上存在滿足條件的點P，利用平行四邊形的性質和三角形全等的性質求出點P的坐標，得到點P不在直線BC上，而得出結論．
（3）平移后根據（1）的解析式可以得到平移后的解析式，頂點坐標及對稱軸，可以求出與坐標軸的交點F、N、E的坐標，連接EF，根據E、F的坐標求出其解析式，求出EF與對稱軸的交點，就是Q點．

解答 解：（1）連接CH，
由軸對稱得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
AC²=CH²+AH²
∵直線y=$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，
∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
設C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8-a，在Rt△AHC中，
由勾股定理，得
（8-a）²=a²+4²解得
a=3
C（3，0）
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{6=c}\\{0=64a+8b+c}\\{0=9a+3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{11}{4}}\\{c=6}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²$-\frac{11}{4}x$+6，
∴y=$\frac{1}{4}$${（x-\frac{11}{2}）}^{2}$$-\frac{25}{16}$；


（2）由（1）的結論，得
D（$\frac{11}{2}$，-$\frac{25}{16}$）
∴DF=$\frac{25}{16}$，
設BC的解析式為：y=kx+b，則有
$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=-2}\end{array}\right.$
直線BC的解析式為：y=-2x+6
設存在點P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=$\frac{25}{16}$，
∴$\frac{25}{16}$=-2x+6
∴$x=\frac{71}{32}$
P（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{16}$）
當x=$\frac{5}{2}$時，
y=-2×$\frac{5}{2}$+6=1≠$\frac{25}{16}$
∴點P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點P；

（3）由題意得，平移后的解析式為：
y=$\frac{1}{4}$（x-2）²$-\frac{25}{16}$
∴對稱軸為：x=2，
當x=0時，y=-$\frac{9}{16}$
當y=0時，0=$\frac{1}{4}$（x-2）²$-\frac{25}{16}$
解得：x₁=$-\frac{1}{2}$；x₂=$\frac{9}{2}$
∵F在N的左邊
F（$-\frac{1}{2}$，0），E（0，-$\frac{9}{16}$），N（$\frac{9}{2}$，0）
連接EF交x=2于Q，設EF的解析式為：y=kx+b，則有
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}k+b}\\{b=-\frac{9}{16}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{8}}\\{b=-\frac{9}{16}}\end{array}\right.$
∴EF的解析式為：y=-$\frac{9}{8}$x-$\frac{9}{16}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{9}{8}x-\frac{9}{16}}\\{x=2}\end{array}\right.$
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\frac{45}{16}}\end{array}\right.$
∴Q（2，-$\frac{45}{16}$）．

點評 本題是一道二次函數的綜合試題，考查了軸對稱的性質，勾股定理的運用，待定系數法求函數的解析式的方法，圖象的平移，平行四邊形的判定及性質以及最值的確定等多個知識點，綜合運用二次函數的性質及平行四邊形的性質，求出各點坐標是解答此題的關鍵．