Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4$\sqrt{3}$，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．直角∠PMQ繞頂點M旋轉，使得邊MP于線段BA交于點P，邊MQ與線段AC交于點Q．
（1）判斷△PBM與△QNM是否相似，如果相似，請寫出證明過程；
（2）設BP的長為x，Rt△APQ的面積為S，求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）探求BP²，PQ²，CQ²三者數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據垂直的定義、同角的余角相等得到∠CNM=∠B，∠BMP=∠NMQ，根據相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據相似三角形的性質、直角三角形的性質用x表示出AQ、AP的長，根據三角形的面積公式計算即可；
（3）根據（2）的結論、結合圖形，運用函數思想進行計算即可．

解答 解：（1）△PBM與△QNM相似，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠CNM+∠C=90°，
∴∠CNM=∠B，
∵∠PMQ=90°，MN⊥BC，
∴∠BMP=∠NMQ，
∴△PBM∽△QNM；
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴BC=8$\sqrt{3}$，AC=12，
∵M是BC邊的中點，
∴BM=MC=4$\sqrt{3}$，MN=4，NC=8，
∴AN=4，
∵△PBM∽△QNM，
∴$\frac{NQ}{BP}$=$\frac{MN}{BM}$，即$\frac{NQ}{x}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
解得，NQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AQ=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×AQ×AP=$\frac{1}{2}$×（4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）×（4$\sqrt{3}$-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+8$\sqrt{3}$，0≤x＜4$\sqrt{3}$；
（3）BP²+CQ²=PQ²，
證明：由（2）得，AQ=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AP=4$\sqrt{3}$-x，
由勾股定理得，PQ²=AQ²+AP²=（4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²+（4$\sqrt{3}$-x）²
=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$x+64，
CQ²=（8-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{16}{3}\sqrt{3}$x+64，BP²=x²，
∴CQ²+BP²=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$x+64，
∴BP²+CQ²=PQ²．

點評 本題考查的是相似三角形知識的綜合運用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意函數思想在解題中的靈活運用．