Question

11．小明在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：
如果二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y=-x²+3x-2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由y=-x²+3x-2函數(shù)可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根據(jù)a₁+a₂=0b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數(shù)y=-x²+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A₁，B₁，C₁，試證明經(jīng)過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a₂，b₂，c₂，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；
（2）根據(jù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a₂，b₂，c₂，根據(jù)負(fù)數(shù)偶數(shù)次冪是正數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A₁，B₁，C₁，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a₂，b₂，c₂，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．

解答 解：（1）由y=-x²+3x-2函數(shù)可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2．
由a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，得
a₂=1，b₂=3，c₂=2．
函數(shù)y=-x²+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x²+3x+2；
（2）由y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)“，得
-2n=$\frac{4}{3}$m，-2+n=0．
解得n=2，m=-3．
當(dāng)m=2，n=-3時，（m+n）²⁰¹⁶=（2-3）²⁰¹⁶=（-1）²⁰¹⁶=1；
（3）∵當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，x=4，
∴A（-1，0），B（4，0）．
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{2}$×（-4）=2，即C（0，2）．
由點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A₁，B₁，C₁，得
A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2）．
設(shè)過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)y=ax²+bx+c，將A₁，B₁，C₁代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)y$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2．
y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2函數(shù)可知a₁=-$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{3}{2}$，c₁=2．
由a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，得a₂=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{3}{2}$，c₂=-2．
y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2．
∴經(jīng)過點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”得出a₂，b₂，c₂是解題關(guān)鍵．