Question

16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y=ax²+bx+1（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C、P（1，-1），在△PAC中，∠P=90°，PA=PC．

（1）求點A的坐標；
（2）將△PAC沿AC翻折，若點P的對應點Q恰好落在函數y=ax²+bx+1（a≠0）的圖象上，求a與b的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作x軸的平行線交y軸于D，作AE⊥PD于E，證明△PCD≌△APE，得到PE=CD=2，求出DE的長，求出點A的坐標；
（2）作PG⊥y軸于G，作QF⊥y軸于F，根據翻折變換的性質證明△PCG≌△QCF，求出點Q的坐標，運用待定系數法列出方程組，求出a與b的值．

解答 解：（1）如圖1，過點P作x軸的平行線交y軸于D，作AE⊥PD于E，
∴∠CDP=∠PEA=90°，
∵∠P=90°，
∴∠PCD=∠APE，
在△PCD和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠APE}\\{∠CDP=∠PEA}\\{PC=PA}\end{array}\right.$，
∴△PCD≌△APE，
∴PE=CD=2，
∴DE=DP+PE=3，
∴點A的坐標為（0，3）；
（2）如圖2，作PG⊥y軸于G，作QF⊥y軸于F，
∵∠P=90°，PA=PC，
∴△APC為等腰直角三角形，
∴∠PCA=45°，
由翻折變換的性質可知，∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴△PCG≌△QCF，
∴QF=CG=2，CF=GP=1，
∴點Q的坐標為（2，2），
則$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=2}\\{9a+3b+1=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=\frac{13}{6}}\end{array}\right.$，
答：a的值是-$\frac{5}{6}$，b的值是$\frac{13}{6}$．

點評 本題考查的是二次函數的圖形和性質的應用，掌握翻折變換的性質、三角形全等的判定定理和性質定理、靈活運用待定系數法求二次函數解析式是解題的關鍵．