Question

8．如圖，點A的坐標為（6，0），點B為y軸的負半軸上的一個動點，分別以OB，AB為直角邊在第三、第四象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，∠FOB=∠ABE=90°，連結EF交y軸于P點．設BP=y，OB=x，請寫出y關于x的函數表達式y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 作EN⊥y軸于N，根據余角的性質得到∠NBE=∠BAO，推出△ABO≌△BEN（AAS），根據全等三角形的性質得到NE=OB=x，BN=AO=6，由△OBF是等腰直角三角形，得到BF=$\sqrt{2}$x，推出△OFP∽△PHE，根據相似三角形的性質得到$\frac{OP}{PN}=\frac{OF}{NE}$=1，得到OP=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$（6+x即可得到結論．

解答 解：如圖1，作EN⊥y軸于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BNE}\\{∠BAO=∠NBE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
，∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴NE=OB=x，BN=AO=6，
∵△OBF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$x，
∵∠FOP=∠ENP=90°，∠OPF=∠NPE，
∴△OFP∽△PHE，
∴$\frac{OP}{PN}=\frac{OF}{NE}$=1，
∴OP=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$（6+x），
∴BP=OP-OB=3+$\frac{1}{2}$x-x=3-$\frac{1}{2}$x=y，（0＜x＜6），
當x=6時，y=0，∴F，E，B共線，
當x＞6時，如圖2，同理得到：OP=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{1}{2}$（6+x），PB=OB-OP=x-$\frac{1}{2}$（6+x）=$\frac{1}{2}$x-3=y．
∴y關于x的函數表達式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．
故答案為：y=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{1}{2}x（0＜x＜6）}\\{0（x=6）}\\{\frac{1}{2}x-3（x＞6）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定，坐標與圖形性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．