Question

2．如圖，邊長為10的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么DH的長為$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過點F作FI⊥BC于點BC，延長線AD交AD于J，根據題意可求出FI、FJ和JH的長度，從而求出HD的長度．

解答 解：過點F作FI⊥BC于點BC，延長線AD交AD于J，
由題意可知：CF=BC=10，∠FCB=30°，
∴FI=5，CI=5$\sqrt{3}$
∵JI=CD=10，
∴JF=JI-FI=5，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
設JH=x，則HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）²=x²+5²，
∴x=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴DH=DJ-JH=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
故答案為：$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查正方形的性質，涉及正方形的性質，勾股定理，旋轉的性質，含30°的直角三角形的性質，本題屬于中等題型．