Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=$\frac{1}{2}$BC，AC=10cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度沿A-C-A運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)G，將線段GF繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段GH，以GF，GH為邊作正方形FGHI，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)t的值；
（3）點(diǎn)E與點(diǎn)F重合之前，當(dāng)正方形FGHI與Rt△ABC重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求重疊部分圖形的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫(xiě)出直線BI與AC垂直時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況分別表示FC的長(zhǎng)即可；
（2）當(dāng)F從C到A時(shí)，才會(huì)有E與F重合，即當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，根據(jù)EC=FC列式解出即可；
（3）由圖形可知：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合之后，所成的正方形FGHI在AC的下方，與Rt△ABC無(wú)重疊部分，因此在0≤t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，當(dāng)正方形FGHI與Rt△ABC重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，分四種情況討論：
①先計(jì)算當(dāng)I在BC上時(shí)t的值，如圖2，此時(shí)t=$\frac{5}{6}$，
當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{6}$時(shí)，如圖4，正方形FGHI與Rt△ABC重疊部分的圖形是四邊形AFIG，利用S_{正方形AFIH}-S_△AGH可以求得S的關(guān)系式；
②計(jì)算當(dāng)B在HI上時(shí)，如圖3，此時(shí)t=1，
當(dāng)1≤t＜5時(shí)，如圖5，重疊部分的圖形是四邊形AFGB，根據(jù)S=S_△ABC-S_△CFG可以求得S的關(guān)系式；
③如圖6，點(diǎn)F從C到A時(shí)，計(jì)算GH過(guò)點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)EG=FE，列式計(jì)算t=$\frac{11}{4}$，如圖7，H在BC上時(shí)，根據(jù)2GH=GC，計(jì)算t=$\frac{25}{8}$，
當(dāng)$\frac{11}{4}$≤t≤$\frac{25}{8}$時(shí)，如圖8，重疊部分的四邊形為GFIH，根據(jù)梯形面積公式求得S的關(guān)系式；
④先計(jì)算當(dāng)I在BC上時(shí)，t=$\frac{45}{14}$，
當(dāng)$\frac{45}{14}$≤t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，重疊部分的四邊形是正方形GFIH，代入面積公式計(jì)算即可；
（4）當(dāng)BI⊥AC時(shí)，如圖10，此時(shí)BF⊥AC，利用勾股定理理求AM=2$\sqrt{5}$t，證明△BMI∽△BAF，得AM=$\frac{1}{2}$AB，列式可求得t的值．

解答 解：（1）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，F(xiàn)C=10-4t；
當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，AC+FC=4t，F(xiàn)C=4t-10；
（2）當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
EC=FC，
則10-2t=4t-10，
6t=20，
t=$\frac{10}{3}$，
答：點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)t的值是$\frac{10}{3}$s；
（3）分四種情況：
①當(dāng)I在BC上時(shí)，如圖2，
Rt△IFC中，tan∠C=$\frac{FI}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴FC=2FI，
10-4t=2×4t，
t=$\frac{5}{6}$，
在Rt△ABC中，設(shè)AB=x，則BC=2x，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{5}$x=10，
x=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
當(dāng)B在HI上時(shí)，如圖3，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•AH，
2$\sqrt{5}$×$4\sqrt{5}$=10AH，
AH=4，
AH=AF=4t=4，
t=1，
當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{6}$時(shí)，如圖4，正方形FGHI與Rt△ABC重疊部分的圖形是四邊形AFIG，
∵四邊形AFIH是正方形，
∴∠HAF=90°，AF=AH=4t，
∴∠HAG+∠GAF=90°，
∵∠B=90°，
∴∠C+∠GAF=90°，
∴∠C=∠HAG，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴tan∠C=tan∠HAG=$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{GH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2GH=4t，
∴GH=2t，
∴S=S_{正方形AFIH}-S_△AGH=4t•4t-$\frac{1}{2}$•2t•4t=12t²；
②當(dāng)1≤t＜5時(shí)，如圖5，重疊部分的圖形是四邊形AFGB，
∵FC=10-4t，
∴FG=$\frac{1}{2}$FC=5-2t，
∴S=S_△ABC-S_△CFG=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$×$4\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$（5-2t）（10-4t），
S=-4t²+20t-5，
③如圖6，點(diǎn)F從C到A時(shí)，當(dāng)GH過(guò)點(diǎn)B，
在Rt△ABG中，cos∠A=$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AG}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{10}$，
∴AG=2，
∵FC=4t-10，
由G與F關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱得：EG=FE，
AE-AG=EC-FC，
2t-2=10-2t-（4t-10），
t=$\frac{11}{4}$，
如圖7，H在BC上時(shí)，
∵EF=EC-FC=10-2t-（4t-10）=20-6t，
∴GH=2EF=2（20-6t）=40-12t，
tan∠C=$\frac{GH}{GC}=\frac{1}{2}$，
∴2GH=GC，
2（40-12t）=40-12t+4t-10，
40-12t=4t-10，
16t=50，
t=$\frac{25}{8}$，
當(dāng)$\frac{11}{4}$≤t≤$\frac{25}{8}$時(shí)，如圖8，重疊部分的四邊形為GFMN，
FM=$\frac{1}{2}$FC=2t-5，
GC=2EF+FC=40-12t+4t-10=30-8t，
GN=$\frac{1}{2}$GC=15-4t，
∴S=S_梯形GFMN=$\frac{1}{2}$（FM+GN）•GF=$\frac{1}{2}$（2t-5+15-4t）（40-12t），
S=12t²-100t+300，
④如圖9，當(dāng)I在BC上時(shí)，
FI=$\frac{1}{2}$CF=2t-5，
FG=40-12t，
∵FG=FI，
∴40-12t=2t-5，
t=$\frac{45}{14}$，
當(dāng)$\frac{45}{14}$≤t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，重疊部分的四邊形是正方形GFIH，
S=GF²=（40-12t）²=144t²-960t+1600，
綜上所述，重疊部分圖形的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式：S=$\left\{\begin{array}{l}{12{t}^{2}（0≤t≤\frac{5}{6}）}\\{-4{t}^{2}+20t-5（1≤t＜5）}\\{12{t}^{2}-100t+300（\frac{11}{4}≤t≤\frac{25}{8}）}\\{144{t}^{2}-960t+1600（\frac{45}{14}≤t≤\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$；

（4）當(dāng)BI⊥AC時(shí)，如圖10，此時(shí)BF⊥AC，
在Rt△AHM中，AH=4t，HM=2t，
由勾股定理理：AM=$\sqrt{（4t）^{2}+（2t）^{2}}$=2$\sqrt{5}$t，
∴MI=HI-HM=4t-2t=2t，
∵M(jìn)I∥AF，
∴△BMI∽△BAF，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{MI}{AF}$=$\frac{2t}{4t}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BM，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB，
2$\sqrt{5}$t=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$，
t=$\frac{1}{2}$，
則直線BI與AC垂直時(shí)t的值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，難度較大，容易丟解，尤其是第三問(wèn)；還考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題、同角的三角函數(shù)以及三角形相似的性質(zhì)和判定，并與二次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)多邊形的面積公式或和差的關(guān)系求解二次函數(shù)的關(guān)系式，注意第三問(wèn)中重疊部分是四邊形時(shí)的t的取值．