Question

7．課本“目標與評定”中有這樣一道思考題，如圖鋼架中，∠A=20°，焊上等長的鋼條來加固鋼架，若AP₁=P₁P₂，問這樣的鋼條至多需要多少根？
（1）請補充完整如下解答：
解：由題意可知，P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅=…
∵∠A=20°，AP₁=P₁P₂，
∴∠AP₂P₁=∠A．
∴∠P₂P₁P₃=∠P₁P₃P₂=40°，
同理可得，∠P₃P₂P₄=∠P₂P₄P₃=60°，
∠P₄P₃P₅=∠P₄P₅P₃=80°．
∴∠P₅P₄B=100°＞90°，
∴對于直線P₄B上任意一點P₆（點P₄除外），P₄P₅＜P₅P₆，
∴這樣的鋼條至多需要4根．
（2）繼續探究：當∠A=15°時，這樣的鋼條至多需要多少根？

Answer 1

分析 （1）由于焊上的鋼條長度相等，并且AP₁=P₁P₂，所以∠A=∠P₁P₂A，則可算出∠P₂P₁P₃的度數，并且和∠P₁P₃P₂度數相等，根據平角的度數為180度和三角形內角和為180度，結合等腰三角形底角度數小于90度即可求出最多能焊上的鋼條數；
（2）由于焊上的鋼條長度相等，并且A P₁=P₁P₂，所以∠A=∠P₁P₂A，則可算出∠P₂P₁P₃的度數，并且和∠P₁P₃P₂度數相等，根據平角的度數為180度和三角形內角和為180度，結合等腰三角形底角度數小于90度即可求出最多能焊上的鋼條數．

解答 解：（1）由題意可知，P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅=…
∵∠A=20°，AP₁=P₁P₂，
∴∠AP₂P₁=∠A．
∴∠P₂P₁P₃=∠P₁P₃P₂=40°，
同理可得，∠P₃P₂P₄=∠P₂P₄P₃=60°，
∠P₄P₃P₅=∠P₄P₅P₃=80°．
∴∠P₅P₄B=100°＞90°，
∴對于直線P₄B上任意一點P₆（點P₄除外），P₄P₅＜P₅P₆，
∴這樣的鋼條至多需要4根；
故答案為：∠A，80°，4；
（2）如圖：
∵∠A=∠P₁P₂A=15°，
∴∠P₂P₁P₃=30°，∠P₁P₃P₂=30°，
∴∠P₁P₂P₃=120°，
∴∠P₃P₂P₄=45°，
∴∠P₃P₂P₄=45°，
∴∠P₂P₃P₄=90°，
∴∠P₄P₃P₅=60°，
∴∠P₃P₅P₄=60°，
∴∠P₃P₄P₅=60°，
∴∠P₅P₄P₆=75°，
∴∠P₄P₆P₅=75°，
∴∠P₄P₅P₆=30°，
∴∠P₆P₅P₇=90°，此時就不能在往上焊接了，綜上所述總共可焊上5條．

點評 此題考查了三角形的內角和是180度的性質和等腰三角形的性質及三角形外角的性質；發現并利用規律是正確解答本題的關鍵．