Question

9．如圖，在網格圖中，有△ABC與線段DE，在線段AG上是否存在點M，使得△MEC與△ADE相似？若存在，請先在圖中確定出所有的點M，并選擇其中一個說明理由；若不存在，也請說明理由．（圖中各點均在格點上）．

Answer 1

分析 △ADE中，∠ADE=90°，DE是△ABC的中位線，則DE∥BC；如果過點E作EM⊥AC于M，則△AEM中有兩個角與△ADE中的兩個角分別對應相等，根據相似三角形的判定，可知兩三角形相似．

解答 解：存在．
理由：過點E作AC的垂線，與AG交于一點M，點M即為所求．連接MC；
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，AE=EC．
∵ME⊥AC，
∴△AEM≌△CEM．
∴∠MAE=∠MCE．
∵∠B=90°，
∴∠DAM=90°．
∵AF∥BC，
∴AM∥DE．
∴∠MAE=∠AED．
∴∠AED=∠MCE．
∵∠ADE=∠MEC=90°，
∴△MEC∽△ADE．

點評 本題主要考查相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，綜合性較強，難度適中．