Question

8．如果正數x、y、z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（x，y，z）是三角形數．若（a，b，c）和$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$均為三角形數，且a≤b≤c，則$\frac{a}{c}$的取值范圍是$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

Answer 1

分析 方法一、由（a，b，c）和$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$均為三角形數，得出a+b＞c和$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，聯立兩式，即可得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，再由a≤b≤c，得出$\frac{a}{c}≤1$，即可得出結論；
方法二、設$\frac{a}{c}=k$，同方法一即可得出結論．

解答 解：方法一、∵（a，b，c）為三角形數，
∴a+b＞c．
∴b＞c-a，
∴$\frac{1}{b}＜\frac{1}{c-a}$，
∵$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$為三角形數，
∴$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＜\frac{1}{c-a}+\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{c-a}+\frac{1}{c}$，
兩邊同時乘以a（a＞0），得，$1＜\frac{a}{c-a}+\frac{a}{c}$，
即$\frac{c-a}{c}＜\frac{a}{c-a}$，
化簡得，a²-3ac+c²＜0，
兩邊除以c²得，${（{\frac{a}{c}}）^2}-3（\frac{a}{c}）+1＜0$，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$
∵a≤b≤c，
∴$\frac{a}{c}≤1$，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}≤1$；
故答案為：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

方法二、設$\frac{a}{c}=k$，
∵（a，b，c）為三角形數，
∴a+b＞c，
∴b＞c-a，
∴b＞（1-k）c，
∴$\frac{1}{b}＜\frac{1}{（1-k）c}$，
∵$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$為三角形數，
∴$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＜\frac{1}{（1-k）c}+\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{（1-k）c}+\frac{1}{c}$，
化簡得，k²-3k+1＜0，
解得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜k＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，
∵a≤b≤c，
∴k≤1，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜k≤1$，
故答案為：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

點評 此題是三角形邊角關系，主要考查了新定義，三角形的兩邊之和第三邊，解本題的關鍵是列出a+b＞c和$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$兩個不等式，對這兩個式子的化簡是解本題的難點．