Question

14．如圖，在平面直角坐標系內，拋物線y=2x²+bx+c的頂點為A（2，1），同時與直線x=3交于點B，連接OA并延長與直線x=3交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求出△ABC的面積；
（3）若點P為拋物線對稱軸上的任意一點，則是否存在以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=2，利用拋物線的頂點式可知y=2（x-2）²+1；
（2）設直線OC的解析式為y=kx，將點A的坐標代入可求得k的值，從而得到OC的解析式，將x=3代入可得到C的坐標，將x=3代入拋物線的解析式可求得B的坐標，最后依據S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）求解即可；
（3）先依據兩點間的距離公式求得AB的長，然后分為△APB∽△BCA、△P′AB∽△ABC兩種情況求得AP的長，從而可得到點P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=2x²+bx+c，
∴a=2．
∵拋物線的頂點坐標為（2，1），
∴拋物線的解析式為y=2（x-2）²+1，即y=2x²-8x+9.\

（2）設直線OC的解析式為y=kx．
將點A的坐標代入得：2k=1，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
將x=3代入OA的解析式得：y=$\frac{3}{2}$
∴C（3，$\frac{3}{2}$）．
將x=3代入拋物線的解析式得：y=3，
∴B（3，3）．
∴BC=1.5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$．

（3）依據兩點間的距離公式可知：AB=$\sqrt{5}$．
如圖所示：當△APB∽△BCA時．

∵△APB∽△BCA，
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AB}{BA}$=1，則AP=BC=1.5．
∴點P的縱坐標為1+1.5=2.5．
∴P（2，2.5）．
當△P′AB∽△ABC時，$\frac{AP′}{AB}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AP′}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{1.5}$，解得：AP′=3$\frac{1}{3}$．
∴P（2，4$\frac{1}{3}$）．
綜上所述，點P的坐標為P（2，2.5）或P（2，4$\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查的相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數的頂點式，待定系數法求一次函數的解析式，相似三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．