Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發．沿x軸向右以每秒一個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx+c經過點O和點P．
（1）求c．b（用t的代數式表示）：
（2）拋物線y=-x²+bx+c與直線x=1和x=5分別交于M、N兩點，當t＞1時，
①在點P的運動過程中，你認為sin∠MPO的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出sin∠MPO的值：
②是否存在這樣的/值，使得MP∥ON？如果存在，求出t值：如果不存在，請說明理由：
（3）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，若拋物線在點O，P之間的部分與線段OP所圍成的區域內（包括邊界）恰有5個整點，結合函數的圖象，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點O（0，0），點P（t，0代入拋物線的解析式，然后解方程組即可；
（2）①當x=1時，可證明AM=AP，從而得到∠PAM=45°；②要使MP∥ON，需滿足∠PON=45°，即N（5，-5），然后將點N的坐標代入拋物線的解析式可得到關于t的方程，從而可求得t的值；
（3）由（2）可知AM=AP，故此當2＜t＜3時，1＜M的縱坐標＜2，要使拋物線在點O，P之間的部分與線段OP所圍成的區域內（包括邊界）恰有5個整點，則只需要當x=2時，1≤y＜2即可．

解答 解：（1）由題意可知，點O（0，0），點P（t，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經過點O和點P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{t}^{2}+bt=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+tx；
（2）當t＞1時，
①sin∠MPO的大小不會變化；
當x=1時，y=t-1，即M（1，t-1），即AM=t-1，AP=t-1，即AM=AP，∠PAM=45°，
∴sin∠MPO=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，是定值．
②存在；
理由：如圖1：∠OPM=45°，要使MP∥ON，需滿足∠PON=45°，即N（5，-5），代入y=-x²+tx得-25+5t=-5．
解得t=4．

（3）如圖2所示：

由（2）可知AM=AP．
∴當2＜t＜3時，1＜M的縱坐標＜2．
∴要使拋物線在點O，P之間的部分與線段OP所圍成的區域內（包括邊界）恰有5個整點，則只需要當x=2時，1≤y＜2即可．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4+2t≥1}\\{-4+2t＜2}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}$≤t＜3．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，等腰直角三角形的判定、特殊銳角三角函數值，一元一次不等式組的應用，得到∠MPA=45°是解答問題（2）的關鍵，依據恰好有5個整點列出不等式組是解答問題（3）的關鍵．