Question

10．如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E在AD邊上，且DE=$\frac{1}{3}$AD，連結CE并延長交BA的延長線于點F，P是線段AF上一點（點P與點A、F不重合），連結PD，交CF于點Q，設AP=x，CQ=y．
（1）求AF的長；
（2）求y與x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（3）當△ACQ是直角三角形時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AD=BC=CD=AB=3，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，AB∥CD，由已知得出DE=1，AE=2，由平行線得出△CDE∽△FAE，得出對應邊成比例，即可得出結果；
（2）由勾股定理求出CE=$\sqrt{10}$，得出FE=2CE=2$\sqrt{10}$，由平行線證出△FPQ∽△CDQ，得出比例式$\frac{PF}{CD}=\frac{FQ}{CQ}$，求出QE=$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$，即可得出y=$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$+$\sqrt{10}$，0＜x＜6；
（3）分兩種情況：①∠AQC=90°時，證明△AQE∽△CDE，得出對應邊成比例求出QE，即可得出x的值；
②∠CAQ=90°時，CQ為斜邊；由正方形的性質得出∠DAC=45°，AC=3$\sqrt{2}$，證出AD平分∠CAQ，由角平分線定理得出$\frac{AQ}{AC}=\frac{QE}{CE}$，即$\frac{AQ}{3\sqrt{2}}=\frac{\frac{\sqrt{10x}}{9-x}}{\sqrt{10}}$，求出AQ=$\frac{3\sqrt{2}x}{9-x}$，在Rt△ACQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB=3，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，AB∥CD，
∵DE=$\frac{1}{3}$AD，
∴DE=1，AE=2，
∵BF∥CD，
∴△CDE∽△FAE，
∴$\frac{CD}{AF}=\frac{DE}{AE}$=$\frac{CE}{FE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=2CD=6；
（2）∵∠ADC=90°，CD=3，DE=1，
∴CE=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴FE=2CE=2$\sqrt{10}$，
∵BF∥CD，
∴△FPQ∽△CDQ，
∴$\frac{PF}{CD}=\frac{FQ}{CQ}$，即$\frac{6-x}{3}=\frac{2\sqrt{10}-QE}{\sqrt{10}+QE}$，
解得：QE=$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$，
∴y=$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$+$\sqrt{10}$，
∵點P與點A、F不重合，
∴0＜x＜6；
（3）分兩種情況：
①當∠AQC=90°時，
∴∠AQC═∠ADC，
∵∠AEQ=∠CED，
∴△AQE∽△CDE，
∴$\frac{QE}{DE}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{QE}{1}=\frac{2}{\sqrt{10}}$，
解得：QE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$；
②當∠CAQ=90°時，CQ為斜邊；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴∠DAQ=45°=∠DAC，
∴AD平分∠CAQ，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{QE}{CE}$，即$\frac{AQ}{3\sqrt{2}}=\frac{\frac{\sqrt{10x}}{9-x}}{\sqrt{10}}$，
解得：AQ=$\frac{3\sqrt{2}x}{9-x}$，
在Rt△ACQ中，由勾股定理得：AQ²+AC²=CQ²，
即（$\frac{3\sqrt{2}x}{9-x}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=（$\frac{\sqrt{10}x}{9-x}$+$\sqrt{10}$）²，
解得：x=2，或x=6（舍去），
∴x=2；
綜上所述：當△ACQ是直角三角形時，x的值為$\frac{3}{2}$或2．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、角平分線定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關鍵，注意分類討論．