Question

15．如圖1，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，延長CD，過點B作BF交CD的延長線于點F，使FB=FG．
（1）判斷FB與⊙O的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，連接BD，AC，若BD=BG，求證：AC∥BF；
（3）在（2）的條件下，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，GD=3，求⊙O的半徑及BF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FBG=∠FGB，∠OAB=∠OBA，等量代換得到∠AGE=∠FBG，根據(jù)垂直的定義得到OB⊥BF，于是得到結(jié)論；
（2）由已知條件易證∠DGB=∠GDB，因為∠CAB和∠BDC都是弧BC所對的圓周角，所以∠CAB=∠BDC，進而可證明∠CAB=∠GBF，則AC∥BF；
（3）由（2）得∠FBG=∠CAG，再根據(jù)已知條件易證∠ACE=∠F，所以tan∠F=tan∠ACE=$\frac{3}{4}$，易求AE的長度．設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)勾股定理列方程求出R的值，然后又相似三角形的性質(zhì)得到BF的長．

解答 證明：（1）如圖1，連接OB，
∵BF=GF，
∴∠FBG=∠FGB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AGE=∠FGB，
∴∠AGE=∠FBG，
∵OA⊥CD，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE+∠EAG=90°，
∴∠OBG+∠FBG=90，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；

（2）∵BD=BG，
∴∠DGB=∠GDB，
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所對的圓周角，
∴∠CAB=∠BDC，
∴∠CAB=∠FGB，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAB=∠GBF，
∴AC∥FB；                    

（3）由（2）得∠FBG=∠CAG，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAG=∠FGB，
∵∠FGB=∠CGA，
∴∠CGA=∠CAG，
∴CA=CG，
∵AC∥BF，
∴∠ACE=∠F，
∴tan∠ACE=tan∠F，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠ACE=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)AE=3k，CE=4k，
∴A=CG=5k，
∵AE⊥CD，
∴CE=DE=4k，
∴EG=k，DG=3k=3，
∴k=1，
∴AE=3，CE=4，
如圖2，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△CEO中，
CO²=CE²+OE²，即R²=4²+（R-3）²，
解得R=$\frac{25}{6}$，
即⊙O的半徑為$\frac{25}{6}$，
∵AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{\;}}$=$\sqrt{10}$，
∵AB，CD相交于G，
∴AG•BG=CG•DG，
∴BG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵BD=BG，BF=GF，
∴△BGD∽△FBG，
∴$\frac{BG}{BF}=\frac{DG}{BG}$，
∴BF=$\frac{B{G}^{2}}{DG}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的判定，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握和各種幾何圖形有關(guān)的定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．