Question

3．△ABC內接于圓O，CD⊥AB于D，CD=DB=3，AD=1，點P為$\widehat{AC}$上一點，求$\frac{\sqrt{10}}{2}$DP+CP的最小值．

Answer 1

分析 如圖，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OP、OA、OC，延長CD交⊙O于M，連接OD延長OD交CA的延長線于K，連接PK．只要證明△POD∽△KOP，可得$\frac{PD}{PK}$=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，推出PK=$\frac{\sqrt{10}}{2}$PD，推出PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$=PC+PK，由PC+PK≥KC，可知當點P與點A重合時，PC+PK的值最小，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OP、OA、OC，延長CD交⊙O于M，連接OD延長OD交CA的延長線于K，連接PK．

∵CD=DB=3，AD=1，
又∵CD•DM=AD•DB，
∴DM=1，易知四邊形OEDF是矩形，
∵CE=EM=2，AF=BF=2，
∴DF=DE=1，
∴四邊形OEDF是正方形，
∴OE=1，CO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AO²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，
∴∠ODC=∠OCK=45°，∵∠COD=∠COK，
∴△COD∽△KOC，
∴OC²=OD•OK，
∵OP=OC，
∴OP²=OD•OK，∵∠POD=∠POK，
∴△POD∽△KOP，
∴$\frac{PD}{PK}$=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
∴PK=$\frac{\sqrt{10}}{2}$PD，
∴PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$=PC+PK，
∵PC+PK≥KC，
∴當點P與點A重合時，PC+PK的值最小，
∴PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$•AD+AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$×1+$\sqrt{10}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查三角形的外接圓與外心、最短問題、相似三角形的判定和性質、垂徑定理、正方形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，題目比較難，屬于競賽題．